Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng }{4}.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\)