Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}.$

Do $A\text{D}\perp BC$ nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.