Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a. a) Tính độ dài của các vectơ

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O.

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = a² + (3a)² = 10a² $\Rightarrow AC=a\sqrt{10}$ .

Do đó: BD = AC = $a\sqrt{10}$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{10},\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt{10}$  .

b) Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Khi đó: $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{CO}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$  và $\overrightarrow{OC}$  ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$  và $\overrightarrow{CO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vì O là trung điểm của BD nên BO = OD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Khi đó: $\left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=\left|\overrightarrow{DO}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$  trong hình là: $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ ; $\overrightarrow{AO},\overrightarrow{CO}$ ; $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{BO},\overrightarrow{DO}$ .