Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau

ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat{BAD}=60°$ nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Ta có: $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=180°-60°=120°$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2 . AD . DC . cosADC

= a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra: AC = $a\sqrt{3}$ .

+ Vì ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{3}$ .

+ Ta có:$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a$ .