Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho

a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.

M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = $\frac{1}{2}$ BC; AN = ND = $\frac{1}{2}$ AD

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$  nên CE //= AN.

Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).

Hai vectơ $\overrightarrow{AN}$  và $\overrightarrow{MC}$  cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và $\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{AN}\right|$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}$  .

Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ .

Do đó:$\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{ND}$

Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có:$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}$ .

b) Vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$  và $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$  nên $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ .

Vì AMED là hình bình hành nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AD}$ .

Do đó ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ .

c) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Do AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$ .

Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  .