Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vecto AB = vecto CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

+) Có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}$

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}$

Suy ra: $\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ})+(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ})$

$=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CJ})$

$=\overrightarrow{0}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})-(\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC})$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.

Do đó: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{IJ}$  (1)

Mà $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}$

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB};\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})-(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID})$$=(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})-(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID})=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.