Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{MC}$.                (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \widehat{MHL}=\widehat{B}=60°$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \widehat{MLH}=\widehat{C}=60°$ (đồng vị)

Tam giác MHL có $\widehat{MHL}=\widehat{MLH}=60°$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{ML}=2\overrightarrow{MD}$.

Chứng minh tương tự ta có: $\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MF}$; $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{ME}$.

Do đó: $2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}$

$=(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MJ})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ML})$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$

Do đó: $2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=3\overrightarrow{MO}$

Suy ra $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.