Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã.

Câu hỏi :

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.

– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì

MA + MB > EA + EB.

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Nối CM.

Xét $\Delta AHE$ vuông tại H và $\Delta CHE$ vuông tại H có:

AH = CH (giả thiết).

HE chung.

Suy ra $\Delta AHE=\Delta CHE$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó EA = EC (2 cạnh tương ứng).

Khi đó EA + EB = EC + EB = BC.

Xét $\Delta AHM$ vuông tại H và $\Delta CHM$ vuông tại H có:

AH = CH (giả thiết).

HM chung.

Suy ra $\Delta AHM=\Delta CHM$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó MA = MC (2 cạnh tương ứng).

Khi đó MA + MB = MC + MB.

Xét $\Delta MBC$có MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Hay MC + MB > EC + EB hay MA + MB > EA + EB.

Vậy bạn Nam nói đúng.