Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: a) BM = CN; b) cân tại G.

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét $\Delta NBC$ và $\Delta MCB$ có:

BN = MC (chứng minh trên).

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta NBC=\Delta MCB$ (c - g - c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = $\frac{2}{3}$BM; GC = $\frac{2}{3}$CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác GBC cân tại G.