Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $\Delta MBG$ và $\Delta MC\text{D}$ có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó $\Delta MBG=\Delta MC\text{D}$ (c - g - c).

c) Do $\Delta MBG=\Delta MC\text{D}$ (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.