Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung.

\[\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\] (AD là phân giác của \[\widehat {BAC}\]).

AB = AC (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra đáp án C đúng.

Ta có ∆ABD = ∆ACD (chứng minh trên).

Suy ra BD = CD và \[\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\] (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Vì BD = CD nên D là trung điểm BC (1).

Ta có \[\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Suy ra \[2\widehat {ADC} = 180^\circ \].

Do đó \[\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \].

Suy ra AD ⊥ BC (2).

Từ (1), (2), ta suy ra AD là đường trung trực của BC.

Do đó đáp án A đúng.

∆ABD vuông tại D: \[\widehat {ABD} + \widehat {BAD} = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {ABC} + \widehat {CAD} = 90^\circ \] (Vì AD là phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\]).

Do đó đáp án B đúng.

∆ABD vuông tại D: \[\widehat {ABD} + \widehat {BAD} = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {ABC} < 90^\circ \].

Mà \[\widehat {ADC} = 90^\circ \] (theo (2)).

Do đó \[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].

Khi đó ta có \[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} < 180^\circ \].

Do đó đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.