Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC vẽ tia

Ta có:

$\widehat{ACP}+\widehat{PCD}=\widehat{ACD}=90°$

$\widehat{CDB}+\widehat{PCD}=90°$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{ACP}=\widehat{CDB}$

Vì $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°$ (hai góc phụ nhau)

Mà $\widehat{ACD}=90°$ 

$\Rightarrow \widehat{HAC}+\widehat{HCA}+\widehat{ACD}=180°$ 

hay $\widehat{HAC}+\widehat{BCD}=180°$ 

Mà $\widehat{PAC}+\widehat{HAC}=180°$ (2 góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{PAC}$ 

Xét $\Delta APC$ và $\Delta CBD$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ACP}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\\ AC=CD\left(gt\right)\\ \widehat{PAC}=\widehat{BCD}\left(cmt\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta APC=\Delta CBD\left(g.c.g\right)$ 

$\Rightarrow AP=BC$ (2 cạnh tương ứng)