Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Biết BE = CF. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A:

Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó $BG=\frac{2}{3}BE$và $CG=\frac{2}{3}CF$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Mà $\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}CF$ (do BE = CF).

Suy ra BG = CG.

Khi đó ta có ∆BCG cân tại G.

Do đó đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

Xét ∆BFC và ∆CEB, có:

CF = BE (giả thiết).

$\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ (do ∆BCG cân tại G).

BC là cạnh chung.

Do đó ∆BFC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (cặp góc tương ứng).

Khi đó ta có ∆ABC cân tại A.

Do đó đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Gọi D là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra D là trung điểm BC.

Do đó DB = DC.

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung.

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180°:2=90°$.

Khi đó AD ⊥ BC hay AG ⊥ BC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.