Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A, B:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $GB=\frac{2}{3}BE$ và $GC=\frac{2}{3}CF$.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>BC$.

Do đó $\frac{2}{3}\left(BE+CF\right)>BC$.

Khi đó $BE+CF>\frac{3}{2}BC$  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) $AD+BE>\frac{3}{2}AB$  (2).

+) $AD+CF>\frac{3}{2}AC$  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: $2AD+2BE+2CF>\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC$.

Suy ra $2\left(AD+BE+CF\right)>\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)$.

Do đó $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$.

Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.

Ta xét đáp án C:

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’.

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

$\widehat{ADB}=\widehat{A^{\text{'}}DB}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB  (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC  (5).

+) 2CF < AC + BC  (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.