Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AB. Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC:

Đáp án đúng là: C

Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của các cạnh AC, AB.

Suy ra D cách đều các điểm A, B, C.

Do đó DA = DB = DC

Vì vậy ∆ACD cân tại D.

Xét ∆ADE và ∆CDE, có:

DE là cạnh chung.

$\widehat{DEA}=\widehat{DEC}=90°$.

AE = CE (do E là trung điểm AC).

Do đó ∆ADE = ∆CDE (c.g.c)

Suy ra $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}$ (cặp góc tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$.

∆DEC vuông tại E: $\widehat{D_4}+\widehat{ECD}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{D_3}=\widehat{D_4}=90°-\widehat{ACB}$.

Tương tự ta được $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}=90°-\widehat{ABC}$.

Khi đó:

$\widehat{D_1}+\widehat{D_2}+\widehat{D_3}+\widehat{D_4}=2\left(90°-\widehat{ABC}\right)+2\left(90°-\widehat{ACB}\right)$

$=2\left(90°-\widehat{ABC}+90°-\widehat{ACB}\right)$

$=2\left[180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\right]$

∆ABC vuông tại A: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó

$\widehat{D_1}+\widehat{D_2}+\widehat{D_3}+\widehat{D_4}$

= 2.[180° – 90°] = 180°.

Suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Ta có DB = DC (= DA).

Suy ra D là trung điểm của BC.

Vậy ta chọn đáp án C.