Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'.

* Hướng dẫn giải

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a, nên ta có \(AC = a\sqrt 2 ,A'C = a\sqrt 3 \) và \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) hay \(AA' \bot AC\).

Tam giác AA'C vuông tại A nên khi quay tam giác AA'C quanh trục AA' ta được hình nón tròn xoay có bán kính đáy \(R = AC = a\sqrt 2 \).

Đường cao AA' = a và đường sinh \(l = A'C = a\sqrt 3 \).

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi \left( {\sqrt 6 + 2} \right){a^2}\).