Có bai nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0\) có nghiệm.

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l} {\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0(1)\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} + \cos x - \sqrt 3 \sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x + \cos x = {\left( {\sqrt 3 \sin x - m} \right)^3} + \left( {\sqrt 3 \sin x - m} \right) \end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^3} + t\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0,\forall t \in R\).

⇒ f(t) đồng biến trên R ⇒ phương trình (1) có nghiệm khi

\(\cos x = \sqrt 3 \sin x - m \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x - \cos x = m\) (2)

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\).

Vì \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).