Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2f\left( {\pi - x} \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x,\left( {\forall x \in R} \right)\). Tích phân \(\int\li...

* Hướng dẫn giải

Thay \(x = \pi - x\) ta được

\(f\left( {\pi - x} \right) + 2f\left( x \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin \left( {\pi - x} \right) \Leftrightarrow 2f\left( x \right) - f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) + 2f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\\ 2f\left( x \right) + f\left( {\pi - x} \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3f\left( x \right) = \left( {2\pi - 3x + 1} \right)\sin x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2\pi - 3x + 1}}{3}\sin x\\ \Rightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{2\pi + 1}}{3}x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^\pi = \frac{{2 + \pi }}{3} \end{array}\)