Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần lượt là tâm các mặt bên ABB'A', ACC'A' và BCC'B'. Thể tích của khối đa diện lồi có...

* Hướng dẫn giải

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

Vì ∆ABC đều có độ dài cạnh bằng 6 nên \({S_{\Delta ABC}} = {4^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là \(V = h.{S_{\Delta ABC}} = 8.4\sqrt 3 = 32\sqrt 3 \).

Gọi E là trung điểm của cạnh AA’. Thể tích khối chóp A.EMN là:

\({V_{A.EMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\,\,\left( {EMN} \right)} \right).{S_{\Delta EMN}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}h.\frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{{24}}V\)

Thể tích khối đa diện ABCMNP là:

\({V_{ABCMNP}} = \frac{1}{2}V - 3{V_{A.EMN}} = \frac{1}{2}V - 3.\frac{1}{{24}}V = \frac{3}{8}V = 12\sqrt 3 \)