Một đĩa tròn tâm O1 bán kính R1 = 20cm, phát sáng và được đặt song song với một màn ảnh

* Hướng dẫn giải

Tóm tắt:

tâm O₁; R₁ = 20cm. D = 120 cm

Tâm O­₂; R₂ = 12 cm.

a) O₁O₂ =? Để R_tối = 4 cm. R’_{nửa tối} =?

b) O₁O₂ =? Để R_tối = 0 cm

Bài giải

 a) Từ hình vẽ ta có: OA là bán kính của vùng tối trên màn, OA = R = 4 cm

- OP là bán kính của đường tròn giới hạn ngoài cùng của vung nửa tối OP =R’

Ta có: ∆ HAO ~ ∆ HA₁O₁ => $\frac{HO}{H{O}_1}=\frac{AO}{A_1{O}_1}$$\iff \frac{HO}{HO+O{O}_1}=\frac{R}{R_1}\iff \frac{HO}{HO+D}=\frac{R}{R_1}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{HO}{HO+D}-\frac{R}{R_1}=0\\ \Rightarrow HO.R_1-HO.R=RD\\ \Rightarrow HO.(R_1-R)=RD\\ \Rightarrow HO=\frac{RD}{R_1-R}\end{array}$

Thay số ta có HO = $\frac{4.120}{20-4}=\frac{480}{16}=30$cm => HO₁ =120+30=150 cm

Mặt khác:

$\Delta H{A}_2{O}_2~\Delta H{A}_1{O}_1$=>  $\frac{H{O}_2}{H{O}_1}=\frac{A_2{O}_2}{A_1{O}_1}$

=> HO₂ = $\frac{A_2{O}_2}{A_1{O}_1}.H{O}_1$=$\frac{R_2}{R_1}.150$=$\frac{12}{20}.150$= 90 cm.

Vậy đĩa chắn sáng phải đặt cách đĩa phát sáng một khoảng

O₁­O₂ = HO₁ – HO=90-30=60 cm thì vùng tối trên màn có bán kính là 4 cm.

Tính R’:

Ta có: $\Delta K{A}_1{O}_1~\Delta K{B}_2{O}_2$=> $\frac{K{O}_1}{K{O}_2}=\frac{A_1{O}_1}{A_2{O}_2}$=> $\frac{K{O}_1}{O_1{O}_2-K{O}_1}=\frac{R_1}{R_2}$

$\iff \frac{K{O}_1}{O_1{O}_2-K{O}_1}-\frac{R_1}{R_2}=0$

 $\Rightarrow K{O}_1.R_2+K{O}_1.R_1=RD\Rightarrow K{O}_1.(R_1+R_2)=R_1.O_1{O}_2\Rightarrow K{O}_1=\frac{R_1.O_1{O}_2}{R_1+R_2}$

Thay số ta có KO₁ = $\frac{20.60}{20+12}=\frac{1200}{32}=$cm => KO₁ = 37.5 cm

Mặt khác:

$\Delta H{A}_1{O}_1~\Delta KQO\Rightarrow \frac{{\displaystyle K{O}_1}}{{\displaystyle KO}}=\frac{{\displaystyle A_1{O}_1}}{{\displaystyle QO}}\iff \frac{{\displaystyle K{O}_1}}{{\displaystyle D-K{O}_1}}=\frac{{\displaystyle R_1}}{{\displaystyle R_1\text{'}}}$ 

=> R’=$\frac{(D-K{O}_1).R_1}{K{O}_1}$ thay số ta có:

R’ = $\frac{(120-37.5).20}{37.5}$= 44 cm.

b) Ta có hình vẽ:

Từ hình vẽ ta có để trên nàm hình vừa vặn không còn bóng tối thì phải di chuyển đĩa chắn sáng về phía O₁ một đoạn O₂O’₂ .

Ta có:

$$\begin{gathered} \Delta A_2{O}_2^{\text{'}}O~\Delta A_1{O}_{1}O nên \frac{O_2^{\text{'}}O}{O_{1}O}=\frac{A_2{O}_2^{\text{'}}}{A_1{O}_1} \\ \Rightarrow O_2^{\text{'}}O=O_{1}O.\frac{A_2{O}_2^{\text{'}}}{A_1{O}_1}=D.\frac{R_2}{R_1} \end{gathered}$$ 

Thay số ta có: $O_2^{\text{'}}O=120.\frac{12}{20}=72$cm.

Mà O₁O₂ = OO₁ - OO’₂ = 120-72 = 48 cm

Nên O₂O’₂ = O₁O₂ – O₁O’₂ = 60-48 = 12 cm

Vậy phải di chuyển đĩa chắn sáng đi một đoạn 12 cm thì trên màn vừa vặn không còn vùng tối.