Tìm số nghiệm của phương trình 2^x+3^x+4^x+...+2017^x+201^x

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét hàm số $f\left(x\right)=2^x+3^x+4^x+\mathrm{...}+{2018}^x$

$f\text{'}\left(x\right)=2^x\ln 2+3^x\ln 3+4^x\ln 4+\mathrm{...}+{2018}^x\ln 2018$ 

Suy ra $f\text{'}\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\Rightarrow f\left(x\right)$ đồng biến trên  

Xét hàm số $g\left(x\right)=2017-x,g\text{'}\left(x\right)=-1<0,\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow g\left(x\right)$ nghịch biến trên

Suy ra $PT\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow PT$ có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy x=0 là nghiệm PT đã cho. Suy ra PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất. x=0.