Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và góc BAC=120 độ. Hình chiếu của A trên các đoạn SB, SC lần lượt là M, N

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ với $DB\perp AB,DC\perp AC.$ 

Ta có $\left\{\begin{array}{l}DB\perp SA\\ DB\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow DB\perp \left(SBD\right)\Rightarrow AM\perp SD.$ 

Tương tự $AN\perp SD\Rightarrow SD\perp \left(AMN\right).$

 Mà $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(\left(ABC\right);\left(AMN\right)\right)}=\widehat{DSA}.$

 Ta có $\sin \widehat{BAC}=\frac{BC}{2R}=\frac{BC}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AD=\frac{2BC}{\sqrt{3}}=\frac{SA}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \widehat{DSA}=\frac{AD}{SA}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{DSA}=30°.$