Một khối đá có hình một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi h và r (0 < h,r < 2R) lần lượt là chiều cao và bán kính mặt đáy của viên đá cảnh hình trụ $\Rightarrow r^2=R^2-\frac{h^2}{4}$ và áp dụng bất đẳng thức với 3 số x,y,z > 0 là:

$x^2+y^2+z^2\ge 3\sqrt[3]{x^2{y}^2{z}^2}\iff xyz\le \sqrt{{\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\right)}^3}.$ 

Thể tích viên đá là:

$$\begin{gathered} V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\mathrm{\pi }\left({\mathrm{R}}^2-\frac{{\mathrm{h}}^2}{4}\right)\mathrm{h}\Rightarrow \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }\sqrt{2}}\sqrt{{\mathrm{R}}^2-\frac{{\mathrm{h}}^2}{4}}\sqrt{{\mathrm{R}}^2-\frac{{\mathrm{h}}^2}{4}}\le \sqrt{{\left(\frac{{\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}^2}{2}}+{\mathrm{R}}^2-{\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}^2}{4}}+{\mathrm{R}}^2-{\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}^2}{4}}}{3}\right)}^3} \\ \Rightarrow \frac{V}{\mathrm{\pi }\sqrt{2}}\le \mathrm{\pi }\frac{2{\mathrm{R}}^3\sqrt{6}}{9}\Rightarrow V\le \frac{4{\mathrm{\pi R}}^3\sqrt{3}}{9} \end{gathered}$$