Cho tam giác có ba góc nhọn. Vẽ BD vuông góc với AC tại D

* Hướng dẫn giải

Vì $\Delta \text{ADB}$ vuông tại D nên $\widehat{\text{ABD}}={90}^0-\widehat{\text{DAB}}$ hay $\widehat{\text{ABD}}={90}^0-\widehat{\text{DAE}}$ (1)

Vì $\Delta \text{AEC}$ vuông tại E nên $\widehat{\text{ACE}}={90}^0-\widehat{\text{EAC}}$ hay $\widehat{\text{ACE}}={90}^0-\widehat{\text{EAD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{ACE}}$

Mặt khác, ta lại có $\widehat{\text{FBA}}+\widehat{\text{ABD}}={180}^0$

* Xét hai tam giác $\Delta \text{FBA}$ và $\Delta \text{ACG}$ có:

FB =AC (gt)

$\widehat{\text{FBA}}=\widehat{\text{ACG}}$ (theo chứng minh trên)

BA = CG (gt)

$\Rightarrow \Delta \text{FBA\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\Delta \text{ACG}$ (c.g.c)

=> AF = AG (2 cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì $\Delta \text{FBA\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\Delta \text{ACG}$ nên $\widehat{\text{FAB}}=\widehat{\text{AGC}}$ (2 góc tương ứng bằng nhau)

Ta có $\widehat{\text{FAG}}=\widehat{\text{FAB}}+\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{CAG}}$

$=> \widehat{\text{FAG}}=\widehat{\text{AGC}}+\widehat{BAC}+\widehat{\text{CAG}}$

$=\widehat{\text{BAC}}+(\widehat{\text{AGC}}+\widehat{\text{CAG}})$

$=\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{ACE}}$ ($\widehat{ACE}$ là góc ngoài tại đỉnh C của $\Delta \text{ACG}$)

$=\widehat{\text{EAC}}+\widehat{\text{ACE}}=90°$ ($∆AEC$ vuông tại E)

Vậy $\widehat{\text{FAG}}=90°$ hay $\text{AF}\perp \text{AG}$.