Cho tam giác ABC các điểm E và F lần lượt là trung điểm

* Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta AFB$ và $\Delta CNF$ có:

          $AF=FC$ (gt);

          $\widehat{AFB}=\widehat{CFN}$ (đối đỉnh);

          $FN=FB$ (gt).

Vậy $\Delta AFB=\Delta CFN(c.g.c)$.

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{A_1} và \widehat{C_1}$  là hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CN

Tương tự $\Delta AEC=\Delta BEM(c.g.c) \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{A_1} và \widehat{B_1}$ là 2 góc so le trong

Vậy AC // MB.

b) Xét $\Delta AEM$ và $\Delta BEC$ có:

           AE = EB (gt)

          $\widehat{AEM}=\widehat{BEC}$ (đối đỉnh)

           EM = EC (gt)

$\Rightarrow \Delta AEM=\Delta BEC(c.g.c)$

+) Tương tự chứng minh: $\Delta AFN=\Delta CFB(c.g.c)$

c) $\Delta AEM=\Delta BEC$ (theo chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{B_2}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{A_3}\text{ và }\widehat{B_2}$ là 2 góc so le trong nên AM // BC (1)

+) $\Delta AFN=\Delta CFB$ (chứng minh trên)

 $\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{C_2}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{A_2}\text{ và }\widehat{C_2}$ là 2 góc so le trong nên AN // BC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, M, N thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)

d) $\Delta AEM=\Delta BEC$ (theo chứng minh trên)$\Rightarrow AM=BC$ (3)

$\Delta AFN=\Delta CFB$  (chứng minh trên)$\Rightarrow AN=CB$              (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM = AN