Cho G là trọng tâm của tam giác đều. D, E, F lần lượt là trung điểm của

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Vì D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,AC,AB nên       

$\begin{array}{l}BD+CE=BC\\ \Delta GBC\\ BG+CG>BC\\ BD=\frac{2}{3}BD;CG=\frac{2}{3}CE\\ \frac{2}{3}BD+\frac{2}{3}CE>BG+CG\Rightarrow \frac{2}{3}(BD+CE)>BG+CG\\ \Rightarrow BD+CE>\frac{2}{3}BC\\ BD=DC=\frac{1}{2}BC;CE=EA=\frac{1}{2}AC;AF=FB=\frac{1}{2}AB\end{array}$

Mặt khác $AC=AB=BC$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $BD=DC=CE=EA=AF=FB$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ ta có:

$\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{A}chung\\ AE=AF\\ \Rightarrow \Delta AEB=\Delta AFC(c.g.c)\end{array}$

$\Rightarrow BE=CF$ (1)

Chứng minh tương tự ta có $\Delta BEC=\Delta ADC(c.g.c)\Rightarrow BE=AD$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $AD=BE=CF$ (3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$$\begin{gathered} GA=\frac{2}{3}AD;GB=\frac{2}{3}BE;GC=\frac{2}{3}CF \\ \Rightarrow GD=\frac{1}{3}AD;GE=\frac{1}{3}BE;GF=\frac{1}{3}CF \end{gathered}$$

Kết hợp với (3) ta được: $GD=GE=GF$