Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BN, CP

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

$\Delta ABC$ có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$AG=\frac{2}{3}AM;BG=\frac{2}{3}BN;CG=\frac{2}{3}CP$

Vì G là trung điểm của AD nên $GD=AG$ mà $AG=\frac{2}{3}AM$ (cmt), do đó $GD=\frac{2}{3}AM$

Ta có: $GD=AG=2GM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $GD=GM+MD\Rightarrow 2GM=GM+MD\Rightarrow GM=MD$

Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMG$ có:

$GM=MD$

$\widehat{BMD}=\widehat{CMG}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM=MC$ (vì AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$)

$\Rightarrow \Delta BMD=\Delta CMG(c.g.c)$

$\Rightarrow BD=CG$ (hai cạnh tương ứng) mà $CG=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$ nên $BD=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$

Vậy $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD=\frac{2}{3}CP$