Cho tam giác ABC có AD thỏa mãn BD = 2DC. Trên tia đối tia CB lấy điểm E

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Kéo dài AC lấy điểm sao cho $CM=AC$, kéo dài AD cắt BM tại H

Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAM}$ nên $\widehat{BAH}=\widehat{HAM}=\frac{\widehat{BAM}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta ABM$ có: BC là đường trung tuyến ứng với cạnh AM, $BD=2DC$ (gt)

Do đó D là trọng tâm $\Delta ABM$

Suy ra AD là đường trung tuyến của $\Delta ABM$

Xét $\Delta ABM$ có AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác

Do đó $\Delta ABM$ cân tại A $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{AMB}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $\Delta ABM$ có $\widehat{BAM}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}={180}^o$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$\widehat{BAM}+2.\widehat{ABM}={180}^o\Rightarrow \frac{\widehat{BAM}}{2}+\widehat{ABM}={90}^o$

Hay $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}={90}^o$

Xét $\Delta ABH$ có:

$\widehat{BAH}+\widehat{ABH}+\widehat{AHB}={180}^o$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{AHB}={180}^o-(\widehat{BAH}+\widehat{ABH})={180}^o-{90}^o={90}^o$

$\Rightarrow AH\perp BM$ hay $AD\perp BM$

Xét $\Delta ACE$ và $\Delta MCB$ có:

$\begin{array}{l}AC=CM\\ BC=CE\left(gt\right)\end{array}$

$\widehat{ACE}=\widehat{MCB}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ACE=\Delta MCB(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{MBC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AEC};\widehat{MBC}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AE//BM$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà $AD\perp BM\Rightarrow AD\perp AE$ (quan hệ từ vuông góc tới song song)

Do đó $\Delta ADE$ vuông tại A