Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấu các điểm D,E sao cho

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Trên đoạn BF lấy điểm G sao cho BG = BC khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BG=BD+DG\\ DF=DG+GF\end{array}\right.$

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

$\Delta BCG$ cân tại B, $\widehat{DBE}=\widehat{EBC}$ nên BE là phân giác đồng thời là đường cao của $\Delta BCG$

Gọi H là giao của BE và GC nên $BH\perp GC$

$\Delta BHG$ vuông tại H nên

$\widehat{HGB}+\widehat{GBH}={90}^0\Rightarrow \widehat{CGB}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

$\Delta ABD$ vuông tại A nên

$\widehat{ABD}+\widehat{ADB}={90}^0\Rightarrow \widehat{ADB}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ADB}=\widehat{CDG}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{CDG}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$

Do đó: $\widehat{CGB}=\widehat{CDG}={90}^0-\frac{1}{3}\widehat{ABC}$ nên $\Delta CDG$ cân tại C suy ra CD = CG (tính chất tam giác cân)

$\widehat{CDB}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta CDG$ nên

$\widehat{CDB}=\widehat{DCG}+\widehat{CGD}$ (1)

$\widehat{CGF}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta CDG$ nên

$\widehat{CGF}=\widehat{DCG}+\widehat{CGD}$ (2)

Từ (1)(2)(3) suy ra $\widehat{CDB}=\widehat{CGF}$

Xét $\Delta CDB$ và $\Delta CGF$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{CDB}=\widehat{CGF}\left(cmt\right)\\ CD=CG\left(cmt\right)\\ BD=FG\left(cmt\right)\\ \Rightarrow \Delta CDB=\Delta CGF(c.g.c)\end{array}$

$\Rightarrow CB=CF$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow CF=DF$ (cùng bằng BC)

Vậy $\Delta CDF$ cân tại F