Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Chọn câu đúng. AB + AC > HA +HB + HC

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E

Vì AE//HF (cách vẽ) nên $\widehat{EAH}=\widehat{FHA}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF//HE (cách vẽ) nên $\widehat{AHE}=\widehat{HAF}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét $∆AEH$ và $∆HFA$ có:

AH cạnh chung

$$\begin{gathered} \widehat{EAH}=\widehat{FHA}\left(cmt\right) \\ \widehat{AHE}=\widehat{HAF}\left(cmt\right) \\ \Rightarrow ∆AEH=∆HFA\left(g.g.c\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow EH=AF; AE=HF$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $\left\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ FH//AC\end{array}\right.\Rightarrow BH\perp FH$

Ta có: BF;BH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến FH nên BF > BH (quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Vì $\left\{\begin{array}{l}CH\perp AB\\ EH//AB\end{array}\Rightarrow CH\perp EH\right.$

Ta có: CE;CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến FH nên CE > CH

(quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Xét $∆AEH$ có: AE + EH > HA (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: AB + AC = AF + FB + AE + EC

$\Rightarrow$ AB + AC = EH + FB + AE + EC (vì EH = AF (cmt))

$\Rightarrow$ AB + AC = (AE + EH) + FB + EC > HA + HB + HC

Vậy AB + AC > HA + HB + HC