Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm; AC = 12cm. Gọi G là trọng tâm

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi AM,BN,CE là ba đường trung tuyến của tam giác ABC

$∆ABC$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow B{C}^2=5^2+{12}^2=169 \\ \Rightarrow BC=13cm \end{gathered}$$

Ta có: AM,BN,CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB

$\Rightarrow AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.12=6cm;AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.5=2,5cm$

Áp dụng định lí Pytago với tam giác AEC vuông tại A ta có:

$$\begin{gathered} A{E}^2+A{C}^2=C{E}^2\Rightarrow 2,5^2+{12}^2=C{E}^2\Rightarrow C{E}^2=\frac{601}{4} \\ \Rightarrow CE=\frac{\sqrt{601}}{2}cm \end{gathered}$$

Ta có tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có:

$\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.13=\frac{13}{2}cm$

Ta có :

$GA+GB+GC=\frac{2}{3}AM+\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}\left(AM+BN+CE\right)$

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\Rightarrow GA+GB+GC=\frac{2}{3}\left(\frac{13}{2}+\sqrt{61}+\frac{\sqrt{601}}{2}\right)\approx 17,71cm$