Giải thích các bước giải:

 `a)` Xét `\triangleABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (Định lý Pytago)

`-> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`-> BC = 10`

Xét `\triangleABC` có: `BD` là phân giác của `\hat{ABC}` $(gt)$

`-> (AD)/(DC) = (AB)/(BC)`

`-> (AD)/(AD + DC) = (AB)/(AB + BC)`

`-> (AD)/(AC) = 6/(6 + 10)`

`-> (AD)/8 = 3/8 <=> AD = 3`

Lại có: `DC = BC - AD = 10 - 3 = 7`

`b)` Xét `\triangleABD` và `\triangleHBI` cùng vuông tại `A` và `H` ta có:

`\hat{ABD} = \hat{HBI} (BD` là tia phân giác của `\hat{ABC})`

`-> \triangleABD` $\backsim$ `\triangleHBI` `(g. g)`

`-> (AB)/(BD) = (HB)/(BI)`

`-> AB. BI = BD. HB`

`c)` Xét `\triangleABC` và `\triangleHBA` cùng vuông tại `A` và `H` ta có:

`\hat{ABC}` chung

`-> \triangleABC` $\backsim$ `\triangleHBA` `(g. g)`

`-> (AB)/(BC) = (BH)/(AB)`

Mà: `(AB)/(BC) = (AD)/(DC)` (chứng minh trên)

`-> (BH)/(AB) = (AD)/(DC)`

Xét `\triangleABH` có: `BI` là phân giác của `\hat{ABH}` $(gt)$

`-> (BH)/(AB) = (IH)/(IA)` 

Nên: `(IH)/(IA) = (AD)/(DC)` 

Đáp án:

a) $AD=3, DC=5$

b) AB.BI=BH.HB$

c) $\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$

$\triangle ABC$ có đường phân giác BD (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to DA=\dfrac{3}{5}DC$

Ta có:

$DA+DC=AC=8\\\to\dfrac{3}{5}DC+DC=8\\\to 8DC=40\\\to DC=5\to DA=\dfrac{3}{5}.5=3$

b)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle HBI$:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ (gt)

$\to\triangle ABD\backsim\triangle HBI$ (g.g)

$\to\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{HB}{BI}\\\to AB.BI=BD.HB$

c)

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CAB$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABC}$: chung

$\to\triangle AHB\backsim\triangle CAB$ (g.g)

$\to\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$ (1)

$\triangle AHB$ có đường phân giác BI (gt)

$\to\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}$ (2)

Ta có: $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}$ (cmt) (3)

Từ (1), (2), (3) $\to\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{DA}{DC}$