Bài 5 : 

Gọi 51 số đã cho là a1 , a2 , a3 ,....., a51 , giả sử a1 < a2 <.......<a51

Xét 102 số sau chia thành hai nhóm :

- Nhóm thứ nhất gồm 51 số đã cho , xếp tăng dần

                a1<a2<.....<a51

- Nhóm thứ hai gồm 51 hiệu, xếp giảm dần.

              101 - a1 > 101 - a2 >......> 101 - a51

Ta có 102 số nguyên dương lấy từ tập hợp { 1 ; 2 ; 3 ;.......;100 } . Vậy tồn tại hai số bằng nhau, hai số này thuộc hai nhóm khác nhau , chẳng hạn am( m viết dưới a nha) thuộc nhóm 1 và 101 - an thuộc nhóm 2 . Khi đó am = 101 - an nên am + an = 101

Hai số am và an không bằng nhau vì tổng chúng là số lẻ. Đó là hai số trong 51 số đã cho có tổng bằng 101.