Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60 độ. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trù...

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của DABC.

Ta có  $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(B{B}^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o.$

$V_{A^{\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.B^{\text{'}}G=\frac{1}{6}AC.BC.B^{\text{'}}G$

Xét DB'BG vuông tại G, có $\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o\Rightarrow B^{\text{'}}G=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Đặt $AB=2x.$  Trong DABC vuông tại C có $\widehat{BAC}={60}^o.$

$\Rightarrow AC=\frac{AB}{2}=x,BC=x\sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BN=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B{N}^2=N{C}^2+B{C}^2$

$\iff \frac{9a^2}{16}=\frac{x^2}{4}+3x^2\iff x^2=\frac{9a^2}{52}\Rightarrow x=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\\ BC=\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\end{array}\right.$

Vậy $V_{A^{\text{'}}ABC}=\frac{1}{6}.\frac{3a}{2\sqrt{13}}.\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^3}{208}.$