Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số

* Hướng dẫn giải

Đặt t = tanx.

Do $x\in \left(-\frac{\pi }{4};0\right)\Rightarrow t\in \left(-1;0\right)$ và hàm số t = tanx đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{4};0\right).$

Khi đó: $y=\frac{t-2}{t-m}$ với $t\in \left(-1;0\right)$

$y\text{'}=\frac{-m+2}{{\left(t-m\right)}^2}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};0\right)\Rightarrow$ Hàm số $y=\frac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên (-1; 0)

$\iff y\text{'}>0\forall t\in \left(-1;0\right)\iff \left\{\begin{array}{l}-m+2>0\\ m\notin \left(-1;0\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<2\\ \left[\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le -1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}0\le m<2\\ m\le -1\end{array}\right..$

Do m là số nguyên dương $\Rightarrow m=1$

Chọn D.