Cho hàm số f(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đổng biến trên [1; 4]

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Từ giả thiết ta suy ra $f\text{'}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[1;4\right]$ và $f\left(x\right)>0,\forall x\in \left[1;4\right]$ nên

$x+2xf\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2\iff \sqrt{x\left(1+2f\left(x\right)\right)}=f\text{'}\left(x\right)\iff \frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}$

$\iff \left(\sqrt{1+2f\left(x\right)}\right)\text{'}=\sqrt{x}\iff \underset{}{\overset{}{\int }}\left(\sqrt{1+2f\left(x\right)}\right)\text{'}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}\sqrt{x}dx.$

$\iff \sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}.x\sqrt{x}+C,\left(*\right)$

Thay x = 1 vào (*) ta được $\iff \sqrt{1+2f\left(1\right)}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\iff C=\frac{4}{3}.$

Thay $x=4,C=\frac{4}{3}$ vào (*) ta được $\iff \sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}.4\sqrt{4}+\frac{4}{3}\iff f\left(4\right)=\frac{391}{18}.$