Cho hàm số bậc 3 \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và đường thẳng d: \(g\left( x \right)=mx+n\) có đồ thị như hình vẽ. Nếu phần tô màu đen có diện tích bằng \(\frac{...

* Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát, ta tịnh tiến đồ thị sang bên trái 1 đơn vị thì có đồ thị như hình dưới

Ta vẫn gọi đường cong và đường thẳng có phương trình dạng \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và \(g\left( x \right)=mx+n\).

+ Quan sát đường thẳng đi qua điểm \(M\left( -2;0 \right)\) và \(N\left( -1;1 \right)\) nên đường thẳng có phương trình y=x+2

+ Quan sát đường cong thấy hai điểm cực trị có hoành độ là -1;1, kết hợp với đạo hàm \({f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\) suy ra b=0 và \(c=-3\text{a}\).

+ Quan sát giao điểm đồ thị với \(\text{Oy}\) ta thấy \(\text{d=2}\); vậy \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3ax+2\)

+ Từ giả thiết về diện tích phần tô đen ta có \(\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{3}}-3ax-x \right)}\text{d}x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3x \right)}\text{d}x-\int\limits_{-1}^{0}{x}\text{d}x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{5}{4}.a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{4}{5}\)

Vậy ta có hai đường có phương trình: \(f\left( x \right)=\frac{4}{5}{{x}^{3}}-\frac{12}{5}x+2\).

+ Diện tích hình gạch chéo bằng \(S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{4}{5}{{x}^{3}}-\frac{12}{5}x+2 \right)}\text{d}x=1\)