Rút gọn biểu thức B = 3/(1.2)^2 + 5/(2.3)^2 +...+ 2n+1

* Hướng dẫn giải

Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có:

$\frac{2k+1}{k^2{\left(k+1\right)}^2}=\frac{{\left(k+1\right)}^2-k^2}{k^2{\left(k+1\right)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$

Do đó 

$B=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$$=1-\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{n\left(n+2\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$