Cho đường tròn (O; R), dây cung AB = R căn 2. Vẽ đường kính CD vuông góc AB

* Hướng dẫn giải

Vì hai dây MC // AN nên hai cung AM và cung CN bằng nhau, hay AM = CN

Suy ra MCNA là hình thang cân => MN = AC

Gọi H là giao của CD và AB. Khi đó vì AB $\perp$ CD tại H nên H là trung điểm của AB => AH =  $\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông AHO, theo định lý Pytago ta có:

OH =  $\sqrt{A{O}^2-A{H}^2}=\sqrt{R^2-{\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$

=> CH = R + $\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}R$

Theo định lý Pytago cho tam giác ACH vuông ta có:

AC =  $\sqrt{C{H}^2+A{H}^2=\sqrt{\frac{{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2}{4}{R}^2+\frac{2R^2}{4}}}=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{2}}{4}{R}^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}.R$

Vậy MN = R$\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: D