Cho \( \widehat {xOy} = {60^0}\) , A là điểm trên tia Ox, B là điểm trên tia Oy, A,B không trùng với O. Chọn câu đúng nhất.

* Hướng dẫn giải

Kẻ tia phân giác Ot của \( \widehat {xOy} \) nên \( \widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \frac{{\widehat {xOy}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.\)

Gọi I là giao của Ot và AB; ,K lần lượt là hình chiếu của A,B trên tia Ot.

Xét ΔOAH có \( \widehat {AOH} = {30^o}\) nên OA=2AH 

Vì AH,AI lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ A đến Ot nên AH≤AI do đó OA≤2AI (1)

Xét ΔOBK có \( \widehat {BOK} = {30^o}\) nên OB=2BK 

Vì BK,BI lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ B đến Ot nên BK≤BI do đó OB≤2BI    (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

\( OA + OB \le 2AI + 2BI = 2\left( {AI + BI} \right) = 2AB\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H,I,K trùng nhau hay AB⊥Ot suy ra \( \widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}.\)

Xét ΔOAI và ΔOBI có: 

\(\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = {90^o}\)

\( \widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (vì Ot là phân giác của \(\widehat {xOy}\) )

OI cạnh chung

I⇒ΔOAI=ΔOBI(g.c.g)

⇒OA=OB(hai cạnh tương ứng).

Vậy OA+OB=2AB khi OA=OB