Cho tam giác (ABC ) vuông cân tại (A ), có (AC = 8cm. ) Một đường thẳng (d ) bất kì luôn đi qua (A ). Kẻ (BH ) và (CK ) lần lượt vuông góc với (d ) tại (H; ,K. ) Khi đó tổng BH2 +...

* Hướng dẫn giải

Vì ΔABC vuông cân tại A nên AB=AC  (tính chất)

Lại có: \( \widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^ \circ }\) (vì ΔABH vuông tại H) và

\( \widehat {CAH} + \widehat {BAH} = {90^ \circ }\)

Suy ra

\( \widehat {ABH} = \widehat {CAK}\) (cùng phụ với \( \widehat {BAH}\)).

Xét ΔABH và ΔCAK có:

\(\begin{array}{l} AB = CA{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (cmt)\\ \widehat {AHB} = \widehat {CKA} = {90^o}\\ \widehat {ABH} = \widehat {CAK}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (cmt)\\ \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABH = {\rm{\Delta }}CAK \Rightarrow BH = AK \end{array}\)

Do đó \( B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ACK có:  

\( A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\( B{H^2} + C{K^2} = A{C^2} = {8^2} = 64\)