Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc (0:1)

Phương pháp giải: - Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left(x\right)\forall x\in \left[0;1\right]\iff m\le \underset{\left[0;1\right]}{\min }g\left(x\right)$.

- Chứng minh hàm số $g\left(x\right)$ đơn điệu trên $\left[0;1\right]$ và suy ra $\underset{\left[0;1\right]}{\min }g\left(x\right)$.

Giải chi tiết:

Ta có:

$f\left(x\right)\ge \frac{x+1}{x+2}+m\forall x\in \left[0;1\right]$ $\iff m\le f\left(x\right)-\frac{x+1}{x+2}=g\left(x\right)\forall x\in \left[0;1\right]$ $\iff m\le \underset{\left[0;1\right]}{\min }g\left(x\right)$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{x+1}{x+2}$ trên $\left[0;1\right]$ ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(0;1\right)$ nên $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\forall x\in \left[0;1\right]$, lại có $-\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}<0\forall x\in \left[0;1\right]$, do đó $g^{\text{'}}\left(x\right)<0\forall x\in \left[0;1\right]$, suy ra hàm số $y=g\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left[0;1\right]$ nên $\underset{\left[0;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)-\frac{2}{3}$.