Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số

Phương pháp giải: Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)\iff f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(a;b\right).$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=x^3-3\left(2m+1\right)x^2+\left(12m+5\right)x+2$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5$ $\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff 3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5=0\left(*\right)$

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$

$\iff y^{\text{'}}\ge 0\forall x\iff {\Delta }^{\text{'}}\le 0\iff 9{\left(2m+1\right)}^2-3\left(12m+5\right)\le 0\iff 9\left(4m^2+4m+1\right)-36m-15\le 0$

$\iff 36m^2-6\le 0\iff m^2\le \frac{1}{6}\iff -\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}$

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$

$\iff \left(*\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $2\le x_1<x_2$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ \left(x_1-2\right)\left(x_1-2\right)\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}36m^2-6>0\\ x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2>\frac{1}{6}\\ \frac{12m+5}{3}-2.\frac{6\left(2m+1\right)}{3}+4\ge 0\\ \frac{6\left(2m+1\right)}{3}>4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right.\\ 12m+5-24m-2+12\ge 0\\ 4m+2>4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right.\\ -12m\ge -15\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right.\\ m\le \frac{5}{4}\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}<m\le \frac{5}{4}$

Kết hợp hai trường hợp ta được: $\left[\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{1}{2}<m\le \frac{5}{4}\end{array}\right.$

Lại có: $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m=1.$