Cho hàm số y = x^3 - 3x + 2 có đồ thị (C). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng

Đáp án C

Gọi $M\left(a;9a-14\right)\in d:y=9x-14.$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k

=> phương trình $\Delta :y=k\left(x-a\right)+9a-14.$

Ta có $\Delta$ tiếp xúc $\left(C\right)\iff \left\{\begin{array}{l}k=3x^2-3\left(1\right)\\ x^3-3x+2=k\left(x-a\right)+9a-14\left(2\right)\end{array}\right.$

Thay (1) vào (2) ta có

$$\begin{gathered} x^3-3x+2=\left(3x^2-3\right)\left(x-a\right)+9a-14\iff 2x^3-3a{x}^2+12a-16=0 \\ \iff \left(x-2\right)\left[2x^2+\left(4-3a\right)x+8-6a\right]=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ 2x^2+\left(4-3a\right)x+8-6a=0\left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến thì (3) phải có nghiệm kép

khác 2 hoặc (3) phải có hai nghiệm phân biệt,

trong đó có một nghiệm x = 2

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\Delta }_{\left(3\right)}=9a^2+24a-48=0\\ 8+\left(4-3a\right)2+8-6a\ne 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{\Delta }_{\left(3\right)}=9a^2+24a-48>0\\ 8+\left(4-3a\right)2+8-6a=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ a=-4\end{array}\right.\\ a\ne 2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a<-4\cup a>\frac{4}{3}\\ a=2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ a=-4\\ \\ a=2\end{array}\right.$

Vậy có ba điểm thỏa mãn bài toán.