Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

$x^6+6x^4-m^3{x}^3+13x^2-mx+10\ge 0\iff {\left(x^2+2\right)}^3+\left(x^2+2\right)\ge {\left(mx\right)}^3+\left(mx\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+1>0\Rightarrow f\left(t\right)$ luôn đồng biến.

Do đó $\left(*\right)\iff f\left(x^2+2\right)\ge f\left(mx\right)\iff x^2+2\ge mx$

Do đó, $x^6+6x^4-m^3{x}^3+13x^2-mx+10\ge 0\forall x\in \left[1;4\right]$

$\iff x^2+2\ge mx\forall x\in \left[1;4\right]\iff x+\frac{2}{x}\ge m\forall x\in \left[1;4\right]\left(**\right)$

$\iff 2\sqrt{2}\ge m$ (do áp dụng BĐT Cauchy, $\forall x\in \left[1;4\right],x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$

Mà m là số nguyên dương nên $m\in \left\{1;2\right\}\Rightarrow S=\left\{1;2\right\}.$