Biết rằng I = Tích phân từ 0 đến pi/2 (-4sinx + 7cosx)/(2sinx + 3cosx)dx = a + 2lnb/c

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét đồng nhất thức

$$\begin{gathered} -4\sin x+7\cos x=A\left(2\sin x+3\cos x\right)+B\left(2\cos x-3\sin x\right)=\left(2A-3B\right)\sin x+\left(3A+2B\right)\cos x. \\ Do đó \left\{\begin{array}{l}2A-3B=-4\\ 3A+2B=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.. \\ I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{-4\sin x+7\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\frac{2{\left(2\sin x+3\cos x\right)}^{\text{'}}}{2\sin x+3\cos x}\right)dx \\ ={\left.\left(x+2\ln \left|2\sin x+3\cos x\right|\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}} \\ =\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}+2\ln \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\Rightarrow a=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}},b=2,c=3. \\ Vậy P=a-b+c=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-2+3=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}+1. \end{gathered}$$