Tìm phần ảo của số phức z biết số phức liên hợp là z = 2 + i + (1+i)^2

Đáp án D

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân với

số hạng đầu $u_1=1+i$ và công bội $q=1+i$ ta có

$$\begin{gathered} \overline{z}=2+i+{\left(1+i\right)}^2+{\left(1+i\right)}^3+...+{\left(1+i\right)}^{2019} \\ =1+1+i+{\left(1+i\right)}^2+{\left(1+i\right)}^3+...+{\left(1+i\right)}^{2019} \\ =1+\left(1+i\right).\frac{{\displaystyle 1-{\left(1+i\right)}^{2019}}}{{\displaystyle 1-\left(1+i\right)}}=1+\frac{{\displaystyle 1+i-{\left(1+i\right)}^{2020}}}{{\displaystyle -i}} \\ =1+\frac{{\displaystyle 1+i-{\left[{\left(1+i\right)}^2\right]}^{1010}}}{{\displaystyle -i}}=1+\frac{{\displaystyle 1+i-{\left(2i\right)}^{1010}}}{{\displaystyle -i}} \\ =1+i\left(1+i+2^{1010}\right)=i\left(1+2^{1010}\right). \\ \Rightarrow z=-i\left(1+2^{1010}\right). \end{gathered}$$