Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + 3| + z1 - 3 = z2 - 4 = 10. Giá trị lớn nhất của

* Hướng dẫn giải

Chú ý: Tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left|z-c\right|+\left|z-c\right|=2a$ với a > c > 0 là một elip có độ dài trục lớn là 2a, tiêu cự 2c, khi đó độ dài trục bé là $2b=2\sqrt{a^2-c^2}$ và elip có phương trình là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Áp dụng: +) $\left|z_1+3\right|+\left|z_1-3\right|=10$

=> tập hợp biểu diễn số phức z₁ là elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\left(E_1\right).$

+) $\left|z_2+4\right|+\left|z_2-4\right|=10$

=> Tập hợp biểu diễn số phức z₁ là Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\left(E_1\right).$

Đồ thị của hai elip (E₁) và (E₂) như hình vẽ.

Gọi M là điểm biểu diễn z₁, N là điểm biểu diễn số phức z₂ (hình vẽ).

Khi đó $\left|z_1-z_2\right|=MN.$ Gọi $P=MN\cap \left(E_1\right)$ (hình vẽ)

$\Rightarrow MN\le MP\le A_1{A}_2=10$ (không đổi).

$\Rightarrow \max \left|z_1-z_2\right|=\max MN=10.$