Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA' = a

Gọi I là trung điểm $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\Rightarrow C^{\text{'}}I\perp A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\Rightarrow C^{\text{'}}I\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

$BI=\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{I}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.B{C}^{\text{'}}=\frac{BI}{\cos \widehat{C^{\text{'}}BI}}=a\sqrt{5},BC=\sqrt{B{C^{\text{'}}}^2-C{C^{\text{'}}}^2}=2a.$

Gọi E là điểm sao cho B là trung điểm EP.

 => MNPE là hình bình hành $\Rightarrow d\left(AM,NP\right)=d\left(P;\left(AME\right)\right)=2d\left(B;\left(AME\right)\right).$

Kẻ $BK\perp AE\left(K\in AE\right),BH\perp MK\left(H\in KM\right)\Rightarrow d\left(B,\left(AME\right)\right)=BH.$

Tam giác  có  vuông ở

Mà B là trung điểm $EP\Rightarrow KB=\frac{1}{2}AP.$

Ta có: $A{P}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}\Rightarrow AP=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

$BH=\frac{BK.BM}{\sqrt{B{K}^2+B{M}^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{10}\Rightarrow d\left(AM,NP\right)=\frac{a\sqrt{15}}{5}.$