Trong một lớp học có 2n + 3 học sinh (n nguyên dương), gồm Hoa, Hồng, Cúc

Đáp án B

Số phần tử không gian mẫu là số cách xếp (2n+3) học sinh vào ghế.

Khi đó $n\left(\Omega \right)=\left(2n+3\right)!.$

Gọi T là biến cố: “Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào

các ghế được đánh số lần lượt là x, y, z sao cho $y=\frac{x+z}{2}$ ”.

Suy ra x + z chia hết cho 2. Khi đó, bài toán trở thành:

xếp Hoa và Cúc vào 2 chỗ x và z thỏa mãn tổng x + z

là số chẵn (khi đó $y=\frac{x+z}{2}$ là duy nhất nên sẽ có duy nhất

một cách xếp cho Hồng. Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: x, z cùng lẻ.

Do từ 1 đến 2n + 3 có n + 2 số lẻ, nên trường hợp này có $A_{n+2}^n.\left(2n\right)!$  cách xếp.

Trường hợp 2: x, z cùng chẵn.

Do từ 1 đến 2n + 3 có n + 1 số chẵn, nên trường hợp này có $A_{n+1}^2.\left(2n\right)!$   cách xếp.

Khi đó số phần tử của biến cố T là: $n\left(T\right)=\left(A_{n+2}^2+A_{n+1}^2\right).\left(2n\right)!.$

Theo bài ra ta có: $p=\frac{n\left(T\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{\left(A_{n+2}^2+A_{n+1}^2\right).\left(2n\right)!}{\left(2n+3\right)!}=\frac{12}{575}\left(*\right).$

Ta có: $\left(*\right)\iff \frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n\left(n+1\right)}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}=\frac{12}{575}\iff \frac{n+2+n}{2\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\frac{12}{575}$

 (do n + 1 > 0).

$\iff 48n^2-479n-539=0\iff \left[\begin{array}{l}n=11 (thỏa mãn)\\ n=-\frac{49}{48} \left(loại\right)\end{array}\right.$

Vậy $n=11\le 15$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.